問題

互いに独立で、それぞれが$平均\mu$, $分散\sigma^2$の正規分布に従う確率変数$X_1, X_2, ..., X_n$がある。このとき、標本平均$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$を、標準正規分布$N(0, 1)$に従うにように正規化した確率変数$u$は、次のうちどれか。

選択肢

(a) $$u = \frac{(\bar{X}-2\mu)}{\sqrt\frac{\sigma^2}{n}}$$

(b) $$u = \frac{(\bar{X}-\mu)}{\sqrt\frac{\sigma^2}{n}}$$

(c) $$u = \frac{(\bar{X}-\mu)}{\frac{\sigma^2}{n}}$$

(d) $$u = \frac{(\bar{X}-\mu)}{n\sigma}$$

  • a
  • b
  • c
  • d

統計検定2級対策 正規分布の標準化

答え

(b)

解説

$\bar{X}$は$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に従うので、これを標準正規分布に従うように標準化すると、$u = \frac{(\bar{X}-\mu)}{\sqrt\frac{\sigma^2}{n}}$となります。

この説明からもわかるように、$u$の式を使って標本平均から母平均$\mu$の区間推定を行う際には、母分散$\sigma^2$をすでに知っている必要があります。（とはいっても、母平均$\mu$を知らないのに母平均$\sigma^2$だけは知っているというケースは、なかなかありません。）

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